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10.設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角A,B,C,所對邊的邊長分別為a,b,c,且a=1,B=2A,則b的取值范圍為$(\sqrt{2},\sqrt{3})$.

分析 由題意可得0<2A<$\frac{π}{2}$,且$\frac{π}{2}$<3A<π,解得A的范圍,可得cosA的范圍,由正弦定理求得$\frac{b}{a}$=b=2cosA,根據(jù)cosA的范圍確定出b范圍即可.

解答 解:銳角△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,B=2A,
∴0<2A<$\frac{π}{2}$,且B+A=3A,
∴$\frac{π}{2}$<3A<π.
∴$\frac{π}{6}$<A<$\frac{π}{3}$,
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$<cosA<$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵a=1,B=2A,
∴由正弦定理可得:$\frac{b}{a}$=b=$\frac{sin2A}{sinA}$=2cosA,
∴$\sqrt{2}$<2cosA<$\sqrt{3}$,
則b的取值范圍為($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$).
故答案為:$(\sqrt{2},\sqrt{3})$.

點評 此題考查了正弦定理,余弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,解題的關(guān)鍵是確定出A的范圍,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(2)若最短時間內(nèi)兩船在C處相遇,如圖,在△ABC中,求角B的正弦值.

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