Question

10．設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C，所對邊的邊長分別為a，b，c，且a=1，B=2A，則b的取值范圍為$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 由題意可得0＜2A＜$\frac{π}{2}$，且$\frac{π}{2}$＜3A＜π，解得A的范圍，可得cosA的范圍，由正弦定理求得$\frac{b}{a}$=b=2cosA，根據(jù)cosA的范圍確定出b范圍即可．

解答 解：銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，B=2A，
∴0＜2A＜$\frac{π}{2}$，且B+A=3A，
∴$\frac{π}{2}$＜3A＜π．
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosA＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a=1，B=2A，
∴由正弦定理可得：$\frac{b}{a}$=b=$\frac{sin2A}{sinA}$=2cosA，
∴$\sqrt{2}$＜2cosA＜$\sqrt{3}$，
則b的取值范圍為（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
故答案為：$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

點評 此題考查了正弦定理，余弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，解題的關(guān)鍵是確定出A的范圍，屬于中檔題．