Question

f（x）=

2-x，x≤0 x2-6x+2，x＞0

，求f（3-x²）＜f（2x）的解集．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：作出函數f（x）的圖象，根據圖象可得函數的單調性，易知3-x²≤3，分情況討論：解不等式即可；

解答： 解：作出函數f（x）的圖象，如右圖所示：二次函數的對稱軸為x=3，
顯然3-x²≤3，
①當2x≤3時，由圖象知f（x）在（-∞，3]上遞減，在[3，+∞）上遞增，
由f（3-x²）＜f（2x）得3-x²＞2x，
從而可得不等式組

3-x2＞2x 2x≤3

，即

-3＜x＜1 x≤ 3 2

，解得-3＜x＜1，
②當2x＞3時，若3-x²≥0，由y=x²-6x+2的圖象關于x=3對稱，得f（3-x²）=f[6-（3-x²）]=f（3+x²），
則f（3-x²）＜f（2x），
即f（3+x²）＜f（2x），
由圖象知f（x）在[3，+∞）上遞增，有3+x²＜2x，
所以有不等式組

3+x2＜2x 2x＞3 3-x2≥0

，此時無解；
③當2x＞3時，若3-x²＜0，由f（3-x²）＜f（2x），
得2-（3-x²）＜（2x）²-6×2x+2，化簡得x²-4x+1＞0，
從而可得不等式組

2x＞3 3-x2＜0 x2-4x+1＞0

，解得x＞2+

3

；
綜上可得f（3-x²）＜f（2x）的解集為：（-3，1）∪（2+

3

，+∞）．

點評：本題考查二次函數的單調性及其應用，考查不等式的求解，考查分類討論思想、數形結合思想，考查學生分析解決問題的能力．