Question

從棱長為1的正方體的8個頂點中任取3個點，設隨機變量X是以這三點為頂點的三角形的面積．
（1）求概率P（X=

1

2

）；
（2）求X的分布列，并求其數學期望E（X）

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：計算題,概率與統計

分析：（1）符合古典概型，利用概率公式求解；
（2）由題意三角形的三邊不可能都是正方體的棱，從而分別求概率及面積，從而列分布列及數學期望．

解答： 解：（1）從正方體的8個頂點中任取3個點，共有

C

3 8

=56種情況，
∵正方體的棱長為1，故若三點為頂點的角形的面積為

1

2

，
則該三角形的兩邊為正方體的相鄰的棱，
故共有8•

C

2 3

=24個，
故P（X=

1

2

）=

24

56

=

3

7

；
（2）顯然，三角形的三邊不可能都是正方體的棱，
若恰有一邊為棱，則對于每一條棱，只有2種選擇，故2×12=24種，
面積為

2

2

；
P（X=

2

2

）=

24

56

=

3

7

；
故都不是棱，則為正三角形，面積為

3

2

；
P（X=

3

2

）=1-

3

7

-

3

7

=

1

7

；
則分布列是

X	1 2	2 2	3 2
P（X）	3 7	3 7	1 7

E（X）=

1

2

×

3

7

+

2

2

×

3

7

+

3

2

×

1

7

=

3+3 2 + 3

14

．

點評：本題考查了古典概型的判斷與概率公式的應用及數學期望的求法，屬于基礎題．