Question

4．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線(xiàn)C₂：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a₁、b₁＞0）的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)M，∠F₁MF₂=90°，若MF₁•MF₂=ab，則雙曲線(xiàn)C₁的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 利用橢圓與雙曲線(xiàn)的定義列出方程，通過(guò)勾股定理求解離心率即可．

解答 解：由橢圓與雙曲線(xiàn)的定義，知|MF₁|+|MF₂|=2a，|MF₁|-|MF₂|=2a₁，
所以|MF₁|=a+a₁，|MF₂|=a-a₁．
因?yàn)椤螰₁MF₂=90°，
所以|MF₁|²+|MF₂|²=4c²，
|MF₁|•|MF₂|=ab，即a²-a₁²=ab，①
即（a+a₁）²+（a-a₁）²=4c²，
化為a²+a₁²=2c²，②
由a²-b²=c²，
①+②可得2a²=2c²+ab，
即有a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
②-①可得2a₁²=2c²-ab
=2c²-$\frac{2}{3}$c²=$\frac{4}{3}$c²，
則雙曲線(xiàn)的離心率為$\frac{c}{{a}_{1}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．