Question

14．已知數列{a_n}滿足${2^{{a_{n-1}}}}+{2^{{a_{n+1}}}}={2^{1+{a_n}}}，n≥2，n∈{N^*}$，且a₁=1，a₂=2，則a₁₆=（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 推導出${2}^{{a}_{3}}=6$，從而a₃=log₂6，進而${2}^{2}+{2}^{{a}_{4}}={2}^{1+lo{g}_{2}6}$，求出a₄=log₂8=3，由此猜想a_n=log₂（2n），從而能求出a₁₆的值．

解答 解：∵數列{a_n}滿足${2^{{a_{n-1}}}}+{2^{{a_{n+1}}}}={2^{1+{a_n}}}，n≥2，n∈{N^*}$，且a₁=1，a₂=2，
∴$2+{2}^{{a}_{3}}={2}^{1+2}$=8，∴${2}^{{a}_{3}}=6$，
∴a₃=log₂6，
${2}^{2}+{2}^{{a}_{4}}={2}^{1+lo{g}_{2}6}$，∴${2}^{{a}_{4}}=2×6-4=8$，
∴a₄=log₂8=3．
∵a₁=1=log₂2，
a₂=2=log₂4，
a₃=log₂6，
a₄=log₂8=3，
由此猜想a_n=log₂（2n），
∴a₁₆=log₂32=5．
故選：B．

點評 本題考查數列的第16項的求法，考查數列的遞推式、指數性質等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．