Question

9．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=4-a_n，則滿足$\frac{1}{{a}_{n}}$=2017+m的最小正整數m的值為（　　）

• A． 33
• B． 32
• C． 31
• D． 30

Answer 1

分析 由S_n=4-a_n，得a₁=2，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（4-a_n）-（4-a_n-1），從而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}$，進而數列{a_n}是首項為2，公比為$\frac{1}{2}$的等比數列，由此得到$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2-n}}$=$\frac{{2}^{n}}{4}$=2017+m，從而能求出滿足$\frac{1}{{a}_{n}}$=2017+m的最小正整數m的值．

解答 解：∵數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=4-a_n，
∴a₁=S₁=4-a₁，解得a₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（4-a_n）-（4-a_n-1），
∴2a_n=a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}$，
∴數列{a_n}是首項為2，公比為$\frac{1}{2}$的等比數列，
∴a_n=2×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^2-n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2-n}}$=$\frac{{2}^{n}}{4}$=2017+m，
當n=13時，$\frac{1}{{a}_{13}}$=$\frac{{2}^{13}}{4}$=2048=2017+31，
∴滿足$\frac{1}{{a}_{n}}$=2017+m的最小正整數m的值為31．
故選：C．

點評 本題考查數列的通項公式中的最小正整數的值的求法，考查數列的遞推式、等比數列的性質等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．