Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD．E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°．
（1）在平面PAB內找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；
（2）若二面角P-CD-A的大小為45°，求二面角P-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）延長AB交直線CD于點M，證明CM∥BE，即可使得直線CM∥平面PBE；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設AD=2，則$BC=CD=\frac{1}{2}AD=1$．求出平面的法向量，即可求二面角P-CE-B的余弦值．

解答 解：（1）延長AB交直線CD于點M，
∵點E為AD的中點，∴$AE=ED=\frac{1}{2}AD$，
∵$BC=CD=\frac{1}{2}AD$，∴ED=BC，
∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四邊形BCDE為平行四邊形，即EB∥CD．
∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，
∵BE?平面PBE，CM?PBE∴CM∥平面PBE，…（4分）
∵M∈AB，AB?平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB內可以找到一點M（M=AB∩CD），使得直線CM∥平面PBE…（6分）
（2）如圖所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，異面直線PA與CD所成的角為90°，即AP⊥CD又AB∩CD=M，
∴AP⊥平面ABCD． 
又∠ADC=90°即CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD．
因此∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，其大小為45°．
∴PA=AD．                                   …（8分）
建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設AD=2，則$BC=CD=\frac{1}{2}AD=1$．
∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（-1，2，0），B（-1，1，0）
∴$\overrightarrow{EC}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{PE}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，
易知平面BCE的法向量為${\overrightarrow n_1}=\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$
設平面PCE的法向量為${\overrightarrow n_2}=（x，y，z）$，則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{PE}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}}\right.$，可得：$\left\{{\begin{array}{l}{y-2z=0}\\{-x+y=0}\end{array}}\right.$．
令y=2，則x=2，z=1，∴${\overrightarrow n_2}=（2，2，1）$．   …（10分）
設二面角P-CE-B的平面角為θ，
則$cosθ=|cos＜{\overrightarrow n_1}，{\overrightarrow n_2}＞|$=$\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}$=$\frac{2}{{\sqrt{9}×2}}=\frac{1}{3}$．
∴二面角P-CE-B的余弦值為$\frac{1}{3}$．            …（12分）

點評 本題考查線面平行，考查線面角，考查向量知識的運用，屬于中檔題．