Question

1．已知函數$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+（{1-a}）x-alnx$．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設a＜0，若對?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的定義域為（0，+∞），求導數，若a≤0，若a＞0，判斷導函數的符號，然后推出函數的單調性．
（Ⅱ）不妨設x₁≤x₂，而a＜0，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，從而?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等價于?x₁，x₂∈（0，+∞），4x₁-f（x₁）≥4x₂-f（x₂），令g（x）=4x-f（x），通過函數的導數求解函數的最值，推出結果．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
求導數，得$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}+（{1-a}）x-a}}{x}=\frac{{（{x+1}）（{x-a}）}}{x}$，
若a≤0，則f'（x）＞0，此時f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
若a＞0，則由f'（x）=0得x=a，當0＜x＜a時，f'（x）＜0，當x＞a時，f'（x）＞0，
此時f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）不妨設x₁≤x₂，而a＜0，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，∴f（x₁）≤f（x₂）
從而?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等價于
?x₁，x₂∈（0，+∞），4x₁-f（x₁）≥4x₂-f（x₂）①
令g（x）=4x-f（x），則$g'（x）=4-f'（x）=4-（{x+1-a-\frac{a}{x}}）=\frac{a}{x}-x+3+a$，
因此，①等價于g（x）在（0，+∞）上單調遞減，
∴$g'（x）=\frac{a}{x}-x+3+a≤0$對?x∈（0，+∞）恒成立，
∴$a≤\frac{{{x^2}-3x}}{x+1}$對?x∈（0，+∞）恒成立，∴$a≤{（{\frac{{{x^2}-3x}}{x+1}}）_{min}}$，
又$\frac{{{x^2}-3x}}{x+1}=x+1+\frac{4}{x+1}-5≥2\sqrt{（{x+1}）•\frac{4}{x+1}}-5=-1$，
當且僅當$x+1=\frac{4}{x+1}$，即x=1時，等號成立．
∴a≤-1，
故a的取值范圍為（-∞，-1]．

點評 本題考查函數的導數的應用，考查函數的單調性以及函數的最值的求法，考查分類討論思想以及轉化思想的應用．