Question

12．已知函數f（x）的定義域為D，若對于?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分別為某個三角形的三邊長，則稱f（x）為“三角形函數”．給出下列四個函數：
①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；
②f（x）=4-cosx；
③$f（x）={x^{\frac{1}{2}}}（1≤x≤16）$；
④$f（x）=\frac{{{3^x}+2}}{{{3^x}+1}}$
其中為“三角形函數”的個數是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，若f（x）為“三角形函數，則滿足f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，即可．

解答 解：若f（x）為“三角形函數，
則f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，
①若f（x）=lg（x+1）（x＞0），則f（x）∈（0，+∞），不滿足條件；
②若f（x）=4-cosx，則f（x）∈[3，5]，滿足條件；
③若$f（x）={x^{\frac{1}{2}}}（1≤x≤16）$，則f（x）∈[1，4]，不滿足條件；
④若$f（x）=\frac{{{3^x}+2}}{{{3^x}+1}}$=1+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$，則f（x）∈（1，2），滿足條件；
故選：B

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及新定義“三角形函數”，根據條件轉化為求f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．