Question

7．已知兩曲線f（x）=2sinx，g（x）=acosx，$x∈（0\;，\;\;\frac{π}{2}）$相交于點P．若兩曲線在點P處的切線互相垂直，則實數a的值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 聯立兩曲線方程，可得tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{a}{2}$，a＞0，設交點P（m，n），分別求出f（x），g（x）的導數，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，再由同角基本關系式，化弦為切，解方程即可得到a的值．

解答 解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，
即有tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{a}{2}$，a＞0，
設交點P（m，n），
f（x）=2sinx的導數為f′（x）=2cosx，
g（x）=acosx的導數為g′（x）=-asinx，
由兩曲線在點P處的切線互相垂直，
可得2cosm•（-asinm）=-1，
且tanm=$\frac{a}{2}$，
則$\frac{2asinmcosm}{si{n}^{2}m+co{s}^{2}m}$=1，
分子分母同除以cos²m，
即有$\frac{2atanm}{1+ta{n}^{2}m}$=1，
即為a²=1+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
解得a=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率，兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，同時考查同角三角函數的基本關系式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．