Question

18．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ 5x-3y-12≥0\\ y≤3\end{array}\right.$當目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）在該約束條件下取得最小值1時，則$\frac{1}{3a}+\frac{2}{b}$的最小值為（　　）

• A． $4+2\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． $3+2\sqrt{2}$
• D． $3+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數可得3a+b=1，再運用“1”的代換利用基本不等式求得$\frac{1}{3a}+\frac{2}{b}$的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ 5x-3y-12≥0\\ y≤3\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{5x-3y-12=0}\end{array}\right.$，解得A（3，1），
化目標函數z=ax+by為$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由圖可知，當直線$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為3a+b=1，
則$\frac{1}{3a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{3a}+\frac{2}{b}$）（3a+b）=3+$\frac{b}{3a}+\frac{6a}{b}$$≥3+2\sqrt{2}$．
當且僅當a=$\frac{\sqrt{2}-1}{3}$，b=2-$\sqrt{2}$時取“=”．
故選：C．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法及數學轉化思想方法，是中檔題．