Question

9．設數列{a_n}的各項都是正數，且對任意n∈N^*，都有a_n²=2S_n-a_n，其中S_n為數列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=2ⁿ+λ•3${\;}^{{a}_{n}}$（n∈N^*），若使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＜b_n成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）對任意n∈N^*，都有a_n²=2S_n-a_n，n=1時，${a}_{1}^{2}=2{a}_{1}-{a}_{1}$，a₁＞0，解得a₁．n≥2時，${a}_{n-1}^{2}$=2S_n-1-a_n-1，相減可得：a_n-a_n-1=1．
（II）b_n=2ⁿ+λ•3${\;}^{{a}_{n}}$=2ⁿ+λ•3ⁿ，假設使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＜b_n成立，化為：λ＜-$\frac{1}{2}（\frac{2}{3}）^{n}$，利用數列的單調性即可得出．

解答 解：（I）∵對任意n∈N^*，都有a_n²=2S_n-a_n，n=1時，${a}_{1}^{2}=2{a}_{1}-{a}_{1}$，a₁＞0，解得a₁=1．
n≥2時，${a}_{n-1}^{2}$=2S_n-1-a_n-1，可得a_n²-${a}_{n-1}^{2}$=2S_n-a_n-（2S_n-1-a_n-1），a_n+a_n-1＞0，化為：a_n-a_n-1=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）b_n=2ⁿ+λ•3${\;}^{{a}_{n}}$=2ⁿ+λ•3ⁿ，
假設使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＜b_n成立，
則2ⁿ⁺¹+λ•3ⁿ⁺¹＜2ⁿ+λ•3ⁿ，
化為：λ＜-$\frac{1}{2}（\frac{2}{3}）^{n}$，
∵數列$\{-\frac{1}{2}（\frac{2}{3}）^{n}\}$單調遞增，
∴λ＜$-\frac{1}{3}$．
∴λ的取值范圍是$（-∞，-\frac{1}{3}）$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、數列遞推關系、數列的單調性、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．