Question

14．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線E交于A，B兩點，E的準線與x軸交于點C，△CAB的面積為4，以點D（3，0）為圓心的圓D過點A，B．
（Ⅰ）求拋物線E和圓D的方程；
（Ⅱ）若斜率為k（|k|≥1）的直線m與圓D相切，且與拋物線E交于M，N兩點，求$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用，△CAB的面積為4，以點D（3，0）為圓心的圓D過點A，B，即可求拋物線E和圓D的方程；
（Ⅱ）設直線m：y=kx+b（|k|≥1），則$\frac{|3k+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，即k²+6kb+b²=8，聯立y=kx+b與拋物線，利用韋達定理及向量數量積公式，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，$F（\frac{p}{2}，0），A（\frac{p}{2}，p），B（\frac{p}{2}，-p），C（-\frac{p}{2}，0），{S_{△ABC}}={p^2}$，（1分）
由p²=4得p=2，圓D半徑R=2$\sqrt{2}$，（3分）
所以拋物線E：y²=4x，圓（x-3）²+y²=8．（4分）
（Ⅱ）設直線m：y=kx+b（|k|≥1），
則$\frac{|3k+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，即k²+6kb+b²=8，①
聯立y=kx+b與拋物線得ky²-4y+4b=0，△=16-16kb，（5分）
由①知kb≤1，即△≥0（6分）
所以方程ky²-4y+4b=0有兩個實數根y₁，y₂，且y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=$\frac{4b}{k}$（7分）
$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$=$\frac{1}{16}$[（y₁y₂）²-4（y₁+y₂）²+24y₁y₂+16]=$\frac{{b}^{2}+6kb{+}^{2}-4}{{k}^{2}}$=$\frac{4}{{k}^{2}}$（11分）
因為|k|≥1，所以$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$的取值范圍是（0，4]．（12分）

點評 本題考查拋物線與圓的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理、向量知識的運用，屬于中檔題．