Question

19．2011年，國際數學協會正式宣布，將每年的3月14日設為國際數學節，來源是中國古代數學家祖沖之的圓周率．為慶祝該節日，某校舉辦的數學嘉年華活動中，設計了一個有獎闖關游戲，游戲分為兩個環節．
第一環節“解鎖”：給定6個密碼，只有一個正確，參賽選手從6個密碼中任選一個輸入，每人最多可輸三次，若密碼正確，則解鎖成功，該選手進入第二個環節，否則直接淘汰．
第二環節“闖關”：參賽選手按第一關、第二關、第三關的順序依次闖關，若闖關成功，分別獲得10個、20個、30個學豆的獎勵，游戲還規定，當選手闖過一關后，可以選擇帶走相應的學豆，結束游戲，也可以選擇繼續闖下一關，若有任何一關沒有闖關成功，則全部學豆歸零，游戲結束．設選手甲能闖過第一關、第二關、第三關的概率分別為$\frac{4}{5}，\frac{3}{4}，\frac{2}{3}$，選手選擇繼續闖關的概率均為$\frac{1}{2}$，且各關之間闖關成功與否互不影響．
（1）求某參賽選手能進入第二環節的概率；
（2）設選手甲在第二環節中所得學豆總數為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）選手能進入第二環節，說明該選手可能是第一次解鎖成功，可能是第二次解鎖成功，也可能是第三次才解鎖成功．第一次解鎖成功的概率為：$\frac{1}{6}$，第二次解鎖成功的概率為：$\frac{5}{6}×\frac{1}{5}=\frac{1}{6}$，第三次解鎖成功的概率為：$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$，即可得出．
（2）X的所有可能取值為0，10，30，60．利用互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式即可得出．

解答 解：（1）選手能進入第二環節，說明該選手可能是第一次解鎖成功，可能是第二次解鎖成功，也可能是第三次才解鎖成功．
第一次解鎖成功的概率為：$\frac{1}{6}$，第二次解鎖成功的概率為：$\frac{5}{6}×\frac{1}{5}=\frac{1}{6}$，
第三次解鎖成功的概率為：$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$，
所以該選手能進入第二環節的概率為：$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$．
（2）X的所有可能取值為0，10，30，60．
$P（X=0）=（1-\frac{4}{5}）+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×（1-\frac{3}{4}）+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{7}{20}$，$P（X=10）=\frac{4}{5}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，$P（X=30）=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{3}{20}$，$P（X=60）=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{10}$．
所以X的分布列為

X	0	10	30	60
P	$\frac{7}{20}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{10}$

$E（X）=0×\frac{7}{20}+10×\frac{2}{5}+30×\frac{3}{20}+60×\frac{1}{10}=14.5$．

點評 本題考查了互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式及其數學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．