Question

15．已知{a_n}是公比不等于1的等比數列，S_n為數列{a_n}的前n項和，且a₃=3，S₃=9
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設${b_n}={log_2}\frac{3}{{{a_{2n+3}}}}$，若${c_n}=\frac{4}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比數列的通項公式與求和公式即可得出．
（II）化簡利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公比為q，q≠1，$\left\{\begin{array}{l}{a_1}{q^2}=3\\ \frac{{{a_1}（1-{q^3}）}}{1-q}=9\end{array}\right.$
化為$\left\{\begin{array}{l}{a_1}{q^2}=3\\{a_1}（1+q+{q^2}）=9\end{array}\right.$，------------------------------------------------（3分）
解得${a_1}=12，q=-\frac{1}{2}$，
∴${a_n}=12×{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$-------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）${a_{2n+3}}=12×{（-\frac{1}{2}）^{2n+2}}=3×{（\frac{1}{2}）^{2n}}$，${b_n}={log_2}\frac{3}{{{a_{2n+3}}}}={log_2}{2^{2n}}=2n$------（8分）
${c_n}=\frac{4}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$-------------------------------------------------------（10分）${c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$-----（12分）

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法、對數函數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．