Question

17．已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0對x∈（-a，+∞）恒成立，則a的值為-1．

Answer 1

分析 依題意，通過分類討論，得到$\left\{\begin{array}{l}{ax+2=0}\\{ln（x+a）=0}\end{array}\right.$時，（ax+2）•ln（x+a）≤0對x∈（-a，+∞）恒成立，解方程$\left\{\begin{array}{l}{ax+2=0}\\{ln（x+a）=0}\end{array}\right.$即可得到答案．

解答 解：∵x∈（-a，+∞），
∴當-a＜x＜1-a時，y=ln（x+a）＜0，
當x＞1-a時，y=ln（x+a）＞0，
又（ax+2）•ln（x+a）≤0對x∈（-a，+∞）恒成立，
①若a＞0，y=ax+2與y=ln（x+a）均為定義域上的增函數，
在x∈（-a，+∞）上，可均大于0，不滿足題意；
②若a=0，則2lnx）≤0對x∈（0，+∞）不恒成立，不滿足題意；
∴a＜0．
作圖如下：

由圖可知，當且僅當方程為y=ln（x+a）的曲線與方程為y=ax+2的直線相交于點A，
即滿足$\left\{\begin{array}{l}{ax+2=0}\\{ln（x+a）=0}\end{array}\right.$時，（ax+2）•ln（x+a）≤0對x∈（-a，+∞）恒成立，
解方程$\left\{\begin{array}{l}{ax+2=0}\\{ln（x+a）=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{a}}\\{x=1-a}\end{array}\right.$，解得a=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查函數恒成立問題，分析得到當$\left\{\begin{array}{l}{ax+2=0}\\{ln（x+a）=0}\end{array}\right.$時，（ax+2）•ln（x+a）≤0對x∈（-a，+∞）恒成立是關鍵，考查分類討論思想與數形結合思想、等價轉化思想的綜合運用，考查邏輯思維與運算能力，屬于難題．