Question

【題目】已知正項數列{an}的前n項和為Sn ， 且a1=1，an+12=Sn+1+Sn ．
（1）求{an}的通項公式；
（2）設bn=a2n﹣1 ， 求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（1）∵an+12=Sn+1+Sn ， ∴當n≥2時，=Sn+Sn﹣1 ， 可得an+12﹣=an+1+an ，
∵an+1+an＞0，∴an+1﹣an=1．
∴數列{an}是等差數列，首項為1，公差為1．
∴an=1+（n﹣1）×1=n．
（2）bn=a2n﹣1=（2n﹣1）2n ．
∴數列{bn}的前n項和Tn=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n ．
∴2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1 ，
∴﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）2n+1=（3﹣2n）2n+1﹣6，
【解析】（1）由an+12=Sn+1+Sn ， 利用遞推關系可得an+12﹣=an+1+an ， 由于an+1+an＞0，可得an+1﹣an=1．再利用等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．