Question

【題目】已知函數f（x）= 在點（1，f（1））處的切線方程為x+y=2． （Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對函數f（x）定義域內的任一個實數x，都有xf（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍．
（Ⅲ） 求證：對一切x∈（0，+∞），都有3﹣（x+1）f（x）＞ ﹣ 成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）= ， 而點（1，f（1））在直線x+y=2上，∴f（1）=1，
又直線x+y=2的斜率為﹣1，∴f′（1）=﹣1，
故有 ，解得： ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）= （x＞0），由xf（x）＜m，得： ＜m，
令g（x）= ，g′（x）= ，
令h（x）=1﹣x﹣lnx，則h′（x）=﹣1﹣ ＜0，（x＞0），
∴h（x）在區間（0，+∞）上是減函數，
∴當0＜x＜1時，h（x）＞h（1）=0，當x＞1時，h（x）＜h（1）=0，
從而當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當x＞1時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1）是增函數，在（1，+∞）是減函數，
故g（x）max=g（1）=1，
要使 ＜m成立，只需m＞1，故m的取值范圍是（1，+∞）；
（Ⅲ）證明：要證3﹣（x+1）f（x）=lnx+1＞ ﹣ ，對x＞0成立，
即證明：xlnx+x＞ ﹣ 對x＞0成立，
設φ（x）=xlnx+x（x＞0），φ′（x）=lnx+2，
當x＞e﹣2時，φ′（x）＞0，φ（x）遞增；當0＜x＜e﹣2時，φ′（x）＜0，φ（x）遞減；
∴φ（x）min=φ（e﹣2）=﹣ ，
設g（x）= ﹣ （x＞0），g′（x）= ，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）遞增；當x＞1時，g′（x）＜0，g（x）遞減；
∴g（x）max=g（1）=﹣ ，∴φ（x）min=﹣ ＞g（x）max=﹣ ，
∴xlnx+x＞ ﹣ ，對x＞0成立，
∴3﹣（x+1）f（x）=lnx+1＞ ﹣ 對x＞0成立
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），得到關于a，b的方程組，解出即可；（Ⅱ）問題轉化為 ＜m，令g（x）= ，根據函數的單調性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可；（Ⅲ）問題轉化為證明：xlnx+x＞ ﹣ 對x＞0成立，設φ（x）=xlnx+x（x＞0），g（x）= ﹣ （x＞0），根據函數的單調性分別求出φ（x）的最小值和g（x）的最大值即可．