Question

已知正項等比數列{a_n}滿足a₂₀₁₅=2a₂₀₁₃+a₂₀₁₄，若存在兩項a_m、a_n使得

aman

=4a₁，則

1

m

+

4

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：設正項等比數列{a_n}的公比為q且q＞0，根據題意和等比數列的通項公式求出q，代入

aman

=4a₁利用指數的運算化簡得：m+n=6，利用1的代換化簡

1

m

+

4

n

，利用基本不等式求出最小值．

解答： 解：設正項等比數列{a_n}的公比為q，則q＞0，
因為a₂₀₁₅=2a₂₀₁₃+a₂₀₁₄，所以q²=2+q，
解得q=2或q=-1（舍去），
因為存在兩項a_m、a_n使得

aman

=4a₁，
所以

a1qm-1•a1qn-1

=4a1，化簡得q^m+n-2=16，
即2^m+n-2=16=2⁴，所以m+n=6，
則

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

(5+2

n m • 4m n

)=

3

2

，
當且僅當

n

m

=

4m

n

時取等號，
所以

1

m

+

4

n

的最小值是

3

2

，
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查等比數列的通項公式，基本不等式求最小值，1的代換，以及化簡計算能力．