Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x 軸相交于點M．
（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連結AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），再利用待定系數法即可求得拋物線的解析式．
（2）根據兩點之間線段最短可得到周長最短的情況，再根據已知兩點求得直線解析式，即可求得所求點的坐標．
（3）根據三角形的面積計算方法可以將三角形切割為兩個便于計算的小三角形，再求每個三角形的底和高，即可表示出三角形的面積，根據二次函數的性質即可求得面積最大時的點的坐標．

解答 解：（1）因為拋物線在x軸上的交點為B（1，0），和C（5，0），設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），
由拋物線過A（0，4），
∴a（0-1）（0-5）=4，
∴a=$\frac{4}{5}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{4}{5}$（x-1）（x-5），即y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4，
對稱軸為直線x=$\frac{1+5}{2}$=3，
（2）存在．如圖所示，連接AC交對稱軸于點P，連接BP，AB，
∵B，C關于對稱軸對稱，
AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC，
此時△PAB的周長最小，設直線AC方程為y=mx+n，將A（0，4），B（1，0），
代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4=n}\\{0=5m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{m=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，即y=-$\frac{4}{5}$x+4，
當x=3時，y=-$\frac{4}{5}$×3+4=$\frac{8}{5}$，
∴P點坐標為（3，$\frac{8}{5}$）；
（3）存在．設N（t，$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$t+4）（0＜t＜5），如圖所示，過N作NF∥OA，分別交x軸和AC于F，G，
過A作AD⊥FG的延長線于點D，連接CN，
根據（2）的AC解析式y=-$\frac{4}{5}$x+4，可得G（t，-$\frac{4}{5}$t+4），
∴NG=-$\frac{4}{5}$t+4-（$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$t+4）=-$\frac{4}{5}$t²+4t，
∵S_△ANC=S_△AGN+S_△CGN，S_△AGN=$\frac{1}{2}$GN×AD，S_△CGN=$\frac{1}{2}$CF×GN，
∴S_△ANC=$\frac{1}{2}$GN×（AD+FC）=$\frac{1}{2}$（-$\frac{4}{5}$t²+4t）×5=-2t²+10t=-2（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，
∴當t=$\frac{5}{2}$時△NAC的面積最大，最大值為$\frac{25}{2}$，
此時$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$+4=$\frac{4}{5}$×（$\frac{5}{2}$）²-$\frac{24}{5}$×$\frac{5}{2}$+4=-3，
∴此時N的坐標為（$\frac{5}{2}$，-3）．

點評 本題考查一元二次函數解析式的求法，一元二次函數圖象與性質，考查三角形的面積公式，考查數形結合思想的應用，考查計算能力，屬于中檔題．