Question

14．函數f（x）是R上的奇函數，且當x＞0時，函數的解析式為f（x）=log₂（x+1）．
（1）求當x＜0時，函數的解析式；
（2）用分段函數形式寫出函數f（x）在R上的解析式，并在坐標系中畫出f（x）的草圖．

Answer 1

分析 （1）當x＜0時，-x＞0，結合函數f（x）是R上的奇函數，且當x＞0時，函數的解析式為f（x）=log₂（x+1），可得答案；
（2）根據f（0）=0及（1）中結論，可得分段函數形式的函數f（x）的解析式，進而得到函數的圖象．

解答 解：（1）當x＜0時，-x＞0，
此時f（-x）=log₂（-x+1）．
又由函數f（x）是R上的奇函數，
故f（x）=-f（-x）=-log₂（-x+1）．
（2）又∵定義在R上的奇函數f（x）滿足f（0）=0，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{log}_{2}（-x+1），x＜0\\ 0，x=0\\{log}_{2}（x+1），x＞0\end{array}\right.$，
函數的圖象如下圖所示：

點評 本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數解析式的求法，函數的圖象，難度中檔．