Question

在數列{a_n}中，a₁=1，S_n為數列{a_n}的前n項和，且滿足

2an

anSn- S 2 n

=1（n≥2）
（1）判斷數列{

1

Sn

}是否為等差數列，并說明理由；
（2）并求數列{a_n}的通項公式；
（3）設b_n=

1，(n=1) - 2 nan ，(n≥2)

，令T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

，若T_n＜m對n≥2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等差關系的確定

專題：計算題,等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）運用數列的通項和前n項和的關系，化簡整理，即可得到

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，再由等差數列的定義，即可得到；
（2）運用等差數列的通項公式，注意n=1的情況，即可得到通項；
（3）求出數列b_n=

1，n=1 n+1，n≥2

，考慮T_n+1-T_n，化簡整理得到大于0，有n≥2時，T₂取得最小值，求出最小值，令m小于它即可．

解答： 解：（1）當n≥2時，2a_n=a_nS_n-S_n²，a_n=S_n-S_n-1，
即有2（S_n-S_n-1）=S_n（S_n-S_n-1）-S_n²=-S_nS_n-1．
則有

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，
則數列{

1

Sn

}為等差數列，且首項為1，公差為

1

2

；
（2）由等差數列的通項公式可得，

1

Sn

=1+

1

2

（n-1）=

n+1

2

，
即有S_n=

2

n+1

，
當n=1時，a₁=1，當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=

2

n+1

-

2

n

=

-2

n(n+1)

則a_n=

1，n=1 -2 n(n+1) ，n＞1

；
（3）b_n=

1，(n=1) - 2 nan ，(n≥2)

，即為b_n=

1，n=1 n+1，n≥2

則T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

=

1

1+n

+

1

3+n

+…+

1

2n+1

，
T_n+1=

1

n+2

+

1

n+4

+…+

1

2n+1

+

1

2n+2

+

1

2n+3

，
T_n+1-T_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

+

1

n+2

-

1

n+1

-

1

n+3

=

1

(n+2)(n+3)

-

1

(2n+2)(2n+3)

＞0，
即有n≥2時，T₂取得最小值，
則若T_n＞m對n≥2恒成立可化為T₂＞m，
又∵T₂=

1

3

+

1

5

=

8

15

，
則m＜

8

15

．

點評：本題考查數列的通項和前n項和的關系，考查等差數列的通項公式，考查數列的單調性和運用：解決恒成立問題，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．