Question

17．已知△ABC的頂點分別為A（2，1），B（3，2），C（-3，-1），D在直線BC上．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，求點D的坐標；
（Ⅱ）若AD⊥BC，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （I）利用向量共線定理即可得出．
（II）利用向量共線定理、向量垂直與數量積的關系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設點D（x，y），則$\overrightarrow{BC}$=（-6，-3），$\overrightarrow{BD}$=（x-3，y-2）．
∵$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2（x-3）=-6}\\{2（y-2）=-3}\end{array}\right.$，解得x=0，y=$\frac{1}{2}$．
∴點D的坐標為$（0，\frac{1}{2}）$．
（Ⅱ）設點D（x，y），∵AD⊥BC，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=0
又∵C，B，D三點共線，∴$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{BD}$．
而$\overrightarrow{AD}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{BD}$=（x-3，y-2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-6（x-2）-3（y-1）=0}\\{-6（y-2）+3（x-3）=0}\end{array}\right.$
解方程組，得x=$\frac{9}{5}$，y=$\frac{7}{5}$．
∴點D的坐標為$（\frac{9}{5}，\frac{7}{5}）$．

點評 本題考查了向量共線定理、向量垂直與數量積的關系、向量坐標運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．