Question

9．若兩曲線y=x²-1與y=alnx-1存在公切線，則正實數a的取值范圍是（0，2e）．

Answer 1

分析 分別求出導數，設出切點，得到切線的斜率，再由兩點的斜率公式，結合切點滿足曲線方程，運用導數求得單調區間、極值和最值，即可得到a的范圍．

解答 解：兩曲線y=x²-1與y=alnx-1存在公切線，
y=x²-1的導數y′=2x，y=alnx-1的導數為y′=$\frac{a}{x}$，
設y=x²-1相切的切點為（n，n²-1）與曲線y=alnx-1相切的切點為（m，alnm-1），
y-（n²-1）=2n（x-n），即y=2nx-n²-1，
y-（alnm-1）=$\frac{a}{m}$（x-m），即：y=$\frac{a}{m}x-a+alnm-1$
∴$\left\{\begin{array}{l}{2n=\frac{a}{m}}\\{{n}^{2}+1=a+1-alnm}\end{array}\right.$
∴$\frac{{a}^{2}}{4{m}^{2}}=a-alnm$∵a＞0，
∴$\frac{a}{4{m}^{2}}=1-lnm$
即$\frac{a}{4}={m}^{2}（1-lnm）$有解即可，
令g（x）=x²（1-lnx），
y′=2x（1-lnx）+${x}^{2}（-\frac{1}{x}）$=x（1-2lnx）=0，可得x=$\sqrt{e}$，
∴g（x）在（0，$\sqrt{e}$）是增函數；（$\sqrt{e}$，++∞）是減函數，g（x）的最大值為：g（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{2}$，
又g（0）=0，
∴0$＜\frac{a}{4}＜\frac{e}{2}$，∴0＜a＜2e．
故答案為：（0，2e）

點評 本題考查導數的幾何意義，主要考查導數的運用：求單調區間和極值、最值，考查運算能力，屬于中檔題．