Question

8．已知函數f（x）=e^x（x²-x+1）-m，若?a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f（a）=f（b）=f（c）=0．則實數m的取值范圍是$（{1，\frac{3}{e}}）$．

Answer 1

分析 g（x）=e^x（x²-x+1），由函數的單調性求函數的極大值為$\frac{3}{e}$，極小值為1，再根據函數f（x）的圖象和直線y=m有3個交點，數形結合，從而求得m的范圍．

解答 解：?a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f（a）=f（b）=f（c）=0．
說明函數f（x）有3個不同零點，即方程e^x（x²-x+1）-m=0有三個根．
即e^x（x²-x+1）=m有三個根．
令g（x）=e^x（x²-x+1），
g′（x）=（x²-x+1）•e^x+（2x-1）•e^x =x（x+1）•e^x，
由g′（x）＞0，得x＞0或x＜-1；
由g′（x）＜0，得-1＜x＜0．
∴g（x）在（-∞，-1），（0，+∞）上單調遞增，在（-1，0）上單調遞減．
∴函數g（x）的極大值為f（-1）=$\frac{3}{e}$，極小值為f（0）=1．
由題意可得，函數g（x）的圖象和直線y=m有3個交點，
如圖所示：
故有：1＜m＜$\frac{3}{e}$，
故答案為：$（{1，\frac{3}{e}}）$．

點評 本題主要考查函數的零點個數的判斷，利用導數研究函數的單調性，由函數的單調性求函數的極值，體現了數學轉化思想方法和數形結合的數學思想方法，屬于中檔題．