Question

8．在某海濱城市附近海面有一臺風，據監測，當前臺風中心位于城市A（看做一點）的東偏南θ角方向$（{cosθ=\frac{{\sqrt{2}}}{10}}）$，300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動．臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大．
（1）問10小時后，該臺風是否開始侵襲城市A，并說明理由；
（2）城市A受到該臺風侵襲的持續時間為多久？

Answer 1

分析 （1）建立直角坐標系，…（1分），則城市A（0，0），當前臺風中心$P（{30\sqrt{2}，-210\sqrt{2}}）$，設t小時后臺風中心P的坐標為（x，y），由題意建立方程組，能求出10小時后，該臺風還沒有開始侵襲城市A．
（2）t小時后臺風侵襲的范圍可視為以$P（{30\sqrt{2}-10\sqrt{2t}，-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t}）$為圓心，60+10t為半徑的圓，由此利用圓的性質能求出結果．

解答 解：（1）如圖建立直角坐標系，…（1分）
則城市A（0，0），當前臺風中心$P（{30\sqrt{2}，-210\sqrt{2}}）$，
設t小時后臺風中心P的坐標為（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}x=30\sqrt{2}-10\sqrt{2}t\\ y=-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t\end{array}\right.$，此時臺風的半徑為60+10t，
10小時后，|PA|≈184.4km，臺風的半徑為r=160km，
∵r＜|PA|，…（5分）
∴10小時后，該臺風還沒有開始侵襲城市A．…（1分）
（2）由（1）知t小時后臺風侵襲的范圍可視為以$P（{30\sqrt{2}-10\sqrt{2t}，-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t}）$為圓心，60+10t為半徑的圓，
若城市A受到臺風侵襲，
則$\sqrt{{{[{（{30\sqrt{2}-10\sqrt{2}t}）-0}]}^2}+{{[{（{-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t}）-0}]}^2}}≤（{60+10t}）$，
∴300t²-10800t+86400≤0，即t²-36t+288≤0，…（5分）
解得12≤t≤24…（1分）
∴該城市受臺風侵襲的持續時間為12小時．…（1分）

點評 本題考查圓的性質在生產生活中的實際應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意挖掘題意中的隱含條件，合理地建立方程．