Question

12．如圖，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點（2，1）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l與圓O：x²+y²=2相切，與橢圓C相交于P，Q兩點．求△OPQ的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式及點的坐標，代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓橢圓方程；
（2）①當斜率不存在時，代入橢圓方程，求得P和Q點坐標，根據三角形的面積公式，即可求得△OPQ的面積；當斜率不存在時，設直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式，即基本不等式的性質，即可取得△OPQ的面積的最大值．

解答 解：（1）由題意，得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，
解得：a²=6，b²=3，
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．．（3分）
（2）①若直線l斜率不存在，將x=$\sqrt{2}$，代入橢圓方程：解得：y=$\sqrt{2}$，
則△OPQ的面積為S=$\frac{1}{2}$×x×2y=2；…（5分）
②當斜率存在時，且k≠0，則直線l：y=kx+m，則有$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{2}⇒{m^2}=2（{{k^2}+1}）$，
∵$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}⇒（{2{k^2}+1}）{x^2}+4mkx+2{m^2}-6=0}\right.$，
∴△=16k²m²-8（2k²+1）（m²-3）=8（4k²+1）
∴$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_2}-{x_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（{4{k^2}+1}）}}}{{2{k^2}+1}}$，
∴$S=\frac{1}{2}|{PQ}|•\sqrt{2}=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（{4{k^2}+1}）}}}{{2{k^2}+1}}•\sqrt{2}⇒{S^2}=\frac{{4（{1+{k^2}}）（{4{k^2}+1}）}}{{{{（{2{k^2}+1}）}^2}}}$，
令t=2k²+1≥1得：${S^2}=\frac{{2（{t+1}）（{2t-1}）}}{t^2}=-\frac{2}{t^2}+\frac{2}{t}+4=-2{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{9}{2}$，
從而當t=2時，△OPQ的面積取得最大值$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式及基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．