Question

已知橢圓的離心率為，且過點

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，若

（ⅰ）求的最值：

（ⅱ）求證：四邊形ABCD的面積為定值.

 

Answer 1

（1）;（2） （ⅰ）;（ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）把點代入橢圓的方程，得到，由離心率，再由a2=b2+c2，聯(lián)立即可得到a2、b2、c2；（2）（ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)kAC=k，由，可得．把直線AC、BD的方程分別與橢圓的方程聯(lián)立解得點A，B，的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積即可得到關(guān)于k的表達式，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最值；

（ⅱ）由橢圓的對稱性可知S四邊形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|s1n∠AOB，得到，代入計算即可證明．

試題解析：【解析】
（1）

（2）

，

考點：1.直線與圓錐曲線的關(guān)系；2.三角形的面積公式；3.平面向量數(shù)量積的運算；4.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．