Question

6．設函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．
（1）求f（9）；
（2）求解不等式f（2x）＞2+f（x-2）．

Answer 1

分析 （1）令x=y=3，利用f（3）=1即可求得f（9）的值；
（2）由條件和（1）的結論得f（2x）＞f（9x-18），再由單調性得到不等式組，解之即可．

解答 解：（1）∵f（3）=1，
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2；
（2）∵函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，
f（xy）=f（x）+f（y），f（9）=2，
∴f（2x）＞f（9）+f（x-2），
∴f（2x）＞f（9x-18）．
∴2x＞9x-18＞0，
∴2＜x＜$\frac{18}{7}$，
∴原不等式的解集為：（2，$\frac{18}{7}$）．

點評 本題考查抽象函數及其應用，著重考查賦值法與函數單調性的應用，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．