Question

1．設函數$f（x）=\frac{x}{{{e^{2x}}}}$（e=2.71828是自然對數的底數）．
（1）f（x）的單調區間、最大值；
（2）討論關于x的方程|lnx|=f（x）+c根的個數．

Answer 1

分析 （1）求出${f^'}（x）=\frac{{（1-2x）{e^{2x}}}}{{{{（{e^{2x}}）}^2}}}=（1-2x）{e^{-2x}}$，利用導數性質能求出f（x）的單調區間、最大值．
（2）設$g（x）=\frac{x}{{{e^{2x}}}}+c$，h（x）=|lnx|，由${g}^{'}（x）=\frac{1-2x}{{e}^{2x}}$，由此根據c＞0，c=0，c＜0三種情況進行分類討論，能求出關于x的方程|lnx|=f（x）+c根的個數．

解答 解：（1）∵函數$f（x）=\frac{x}{{{e^{2x}}}}$，
∴${f^'}（x）=\frac{{（1-2x）{e^{2x}}}}{{{{（{e^{2x}}）}^2}}}=（1-2x）{e^{-2x}}$，
∴$x∈（-∞，\frac{1}{2}）$時，函數f（x）單調遞增，$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$時，函數f（x）單調遞減，
∴$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2e}$．
（2）設$g（x）=\frac{x}{{{e^{2x}}}}+c$，
①當c＞0時，令${g^'}（x）=\frac{1-2x}{{{e^{2x}}}}=0⇒x=\frac{1}{2}$，
當$x∈（0，\frac{1}{2}）$時，g′（x）＞0；當$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$時，g′（x）＜0；
∴g（x）在$x=\frac{1}{2}$處取極大值$g（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2e}+c$，
設h（x）=|lnx|
∵自然對數lnx在x＞0上單調增，0＜x＜1時，lnx＜0，x≥1時，lnx≥0，
∴0＜x＜1時，h（x）＞0，單調減，x≥1時，h（x）≥0，單調增，
∴h（x）圖象與g（x）圖象必存在二個交點，即方程|lnx|=g（x）必有二個根；
②當c=0時，
∵方程|lnx|=g（x），
設H（x）=|lnx|-g（x），
寫成分段函數：$H（x）=-lnx-\frac{x}{{{e^{2x}}}}-c$，（0＜x＜1）$H（x）=lnx-\frac{x}{{{e^{2x}}}}-c$，（x≥1）
當0＜x＜1時，${H^'}（x）=-\frac{1}{x}-\frac{1-2x}{{{e^{2x}}}}＜0$，∴h（x）單調減；$H（\frac{1}{2}）=ln2-\frac{1}{2e}＞0$，$h（1）=-\frac{1}{e^2}＜0$，
∴在區間$[\frac{1}{2}，1]$一必有一個實根；
當x≥1時，${H^'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1-2x}{{{e^{2x}}}}＞0$，∴h（x）單調增；$H（2）=ln2-\frac{2}{e^4}＞0$，
∴在區間[1，2]一必有一個實根，
∴當c=0時，h（x）必有二個實根，即方程|lnx|=g（x）必有二個根，③
③當c＜0時，
令$g（1）=\frac{1}{e^2}+c=0⇒c=-\frac{1}{e^2}$，
∴$c=-\frac{1}{e^2}$時，h（x）圖象與g（x）圖象必存在在一個交點，即方程|lnx|=g（x）必有一個根，
綜上：當$c＞-\frac{1}{e^2}$時，方程|lnx|=g（x）必有二個根；
當$c=-\frac{1}{e^2}$時，方程|lnx|=g（x）必有一個根；
當$c＜-\frac{1}{e^2}$時，方程|lnx|=g（x）無實根．

點評 本題考查函數的單調區間、最大值的求法，考查方程的根的個數的求不地，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．