Question

18．已知函數f（x）=xlnx，當x₂＞x₁＞0時，下列結論中正確的命題的序號是④．
①（x₁-x₂）•[f（x₁-f（x₂）]＜0；
②$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜1；
③f（x₁）+x₂＜f（x₂）+x₁；
④x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）．

Answer 1

分析 求出f′（x）=lnx+1，從而（0，$\frac{1}{e}$）上函數單調遞減，（$\frac{1}{e}$，+∞）上函數單調遞增，由此得到①②③均不正確；構造令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=lnx，則g′（x）=$\frac{1}{x}$，（0，+∞）上函數單調遞增，由此得到④正確．

解答 解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，
∴（0，$\frac{1}{e}$）上函數單調遞減，（$\frac{1}{e}$，+∞）上函數單調遞增，
∵x₂＞x₁＞0，
∴在①中，（x₁-x₂）•[f（x₁-f（x₂）]＜0不成立，故①不正確；
在②中，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜1不成立，故②不正確；
在③中，∵f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上函數單調遞減，（$\frac{1}{e}$，+∞）上函數單調遞增，
∴f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂不成立，
∴f（x₁）+x₂＜f（x₂）+x₁不成立，故③不正確；
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=lnx，則g′（x）=$\frac{1}{x}$，（0，+∞）上函數單調遞增，
∵x₂＞x₁＞0，∴g（x₂）＞g（x₁），∴x₂•f（x₁）＜x₁•f（x₂），故④正確．
故答案為：④．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法和導數性質的合理運用．