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18.已知函數f(x)=xlnx,當x2>x1>0時,下列結論中正確的命題的序號是④.
①(x1-x2)•[f(x1-f(x2)]<0;
②$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$<1;
③f(x1)+x2<f(x2)+x1
④x2f(x1)<x1f(x2).

分析 求出f′(x)=lnx+1,從而(0,$\frac{1}{e}$)上函數單調遞減,($\frac{1}{e}$,+∞)上函數單調遞增,由此得到①②③均不正確;構造令g(x)=$\frac{f(x)}{x}$=lnx,則g′(x)=$\frac{1}{x}$,(0,+∞)上函數單調遞增,由此得到④正確.

解答 解:∵f(x)=xlnx,∴f′(x)=lnx+1,
∴(0,$\frac{1}{e}$)上函數單調遞減,($\frac{1}{e}$,+∞)上函數單調遞增,
∵x2>x1>0,
∴在①中,(x1-x2)•[f(x1-f(x2)]<0不成立,故①不正確;
在②中,$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$<1不成立,故②不正確;
在③中,∵f(x)在(0,$\frac{1}{e}$)上函數單調遞減,($\frac{1}{e}$,+∞)上函數單調遞增,
∴f(x1)-f(x2)<x1-x2不成立,
∴f(x1)+x2<f(x2)+x1不成立,故③不正確;
令g(x)=$\frac{f(x)}{x}$=lnx,則g′(x)=$\frac{1}{x}$,(0,+∞)上函數單調遞增,
∵x2>x1>0,∴g(x2)>g(x1),∴x2•f(x1)<x1•f(x2),故④正確.
故答案為:④.

點評 本題考查命題真假的判斷,是中檔題,解題時要認真審題,注意構造法和導數性質的合理運用.

練習冊系列答案
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