Question

7．如圖所示，正三角形ABC的外接圓半徑為2，圓心為O，PB=PC=2，D為AP上一點，AD=2DP，點D在平面ABC內的射影為圓心O．
（Ⅰ）求證：DO∥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱錐O-PBC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由O為正三角形ABC的外接圓圓心，知O是三角形ABC的中心，連接AO并延長，交BC于E，則AO=2OE，連接PE，又已知AD=2DP，結合平行線截線段成比例定理可得OD∥PE，再由線面平行的判定可得OD∥平面PBC；
（Ⅱ）由正三角形ABC的外接圓半徑為2，求出正三角形邊長，再由PB=PC=2求得PE，利用等積法求得三棱錐O-PBC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
∵O為正三角形ABC的外接圓圓心，∴O是三角形ABC的中心，
連接AO并延長，交BC于E，則AO=2OE，連接PE，
又AD=2DP，
∴OD∥PE，
∵PE?平面PBC，OD?平面PBC，
∴OD∥平面PBC；
（Ⅱ）解：∵正三角形ABC的外接圓半徑為2，即OA=2，
∴AE=3，則BE=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△ABC}=3\sqrt{3}$，${S}_{△BOC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}=\sqrt{3}$．
∵OD⊥平面ABC，PE∥OD，
∴PE⊥平面ABC，
又PB=PC=2，BE=$\sqrt{3}$，
∴PE=1．
則V_O-PBC=V_P-OBC=$\frac{1}{3}×{S}_{△OBC}×PE=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．