Question

2．如圖所示，正三角形ABC的外接圓半徑為2，圓心為O，PB=PC=2，D為AP上一點，AD=2DP，點D在平面ABC內的射影為圓心O．
（Ⅰ）求證：DO∥平面PBC；
（Ⅱ）求平面CBD和平面OBD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結AOL，并延長交BC于點E，連結PE，推導出DO∥PE，由此能證明DO∥平面PBC．
（Ⅱ）以點E為坐標原點，以EO、EB、EP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面CBD和平面OBD所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結AO，并延長交BC于點E，連結PE，
∵O為正三角形ABC的外接圓圓心，
∴AO=2OE，
又AD=2DP，∴DO∥PE，
∵PE?平面PBC，DO?平面PBC，
∴DO∥平面PBC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DO⊥平面ABC，
∵DO∥PE，∴PE⊥平面ABC，
∴PE⊥BC，PE⊥AE，又AE⊥BC，
∴以點E為坐標原點，以EO、EB、EP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標系，
則E（0，0，0），O（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），A（3，0，0），
∴$\overrightarrow{EB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AP}$=（-3，0，1），$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{ED}$=$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}$=（1，0，$\frac{2}{3}$），
∴D（1，0，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{OD}$=（0，0，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{BO}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
設平面CDB的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=x+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{2}{3}$，0，1），
設平面BOD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BO}=a-\sqrt{3}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{4}{9}+1}•\sqrt{1+\frac{1}{3}}}$=-$\frac{\sqrt{39}}{13}$，
∴平面CBD和平面OBD所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．