Question

2．已知函數$f（x）=sin（x+\frac{π}{3}），\;x∈R$
（Ⅰ）如果點$P（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$是角α終邊上一點，求f（α）的值；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）+sinx，求g（x）的單調增區間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據三角函數的定義進行求解即可．
（Ⅱ）根據兩角和差的正弦公式結合輔助角公式進行化簡監控卡．

解答 解：（Ⅰ）由已知：sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$-------（2分）
則f（α）=sin（α+$\frac{π}{3}$）=sinαcos$\frac{π}{3}$+cosαsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$-------（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）+sinx=（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）+sinx=$\frac{3}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）-----------（10分）
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得：2kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z-----------（12分）
則g（x）的單調增區間為[2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z---------------（13分）

點評 本題主要考查三角函數的性質和定義，利用輔助角公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．