Question

17．設不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集為N，若x∈N是$x∈M=[{-\frac{1}{2}，2}）$的必要條件，則a的取值范圍為$a≤-\frac{1}{2}或a≥\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根據充分條件和必要條件的定義，結合一元二次不等式的解法建立不等式關系進行求解即可．

解答 解：若x∈N是$x∈M=[{-\frac{1}{2}，2}）$的必要條件，
則M⊆N，
若a=1時，不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集N=∅，此時不滿足條件．
若a＜1，則N=（a，2-a），則滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{2-a≥2}\\{a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a≤0}\\{a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，此時a≤-$\frac{1}{2}$，
若a＞1，則N=（2-a，a），則滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≥2}\\{2-a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≥2}\\{a≥\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，此時a≥$\frac{5}{2}$，
綜上$a≤-\frac{1}{2}或a≥\frac{5}{2}$，
故答案為：$a≤-\frac{1}{2}或a≥\frac{5}{2}$

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的應用，結合一元二次不等式的解法是解決本題的關鍵．注意要對a進行分類討論．