Question

10．設變量x，y滿足約束條件：$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{x-y≥-1}\\{2x-y≤3}\end{array}\right.$，則目標函數且ax+y=z的最小值為$\frac{1}{2}$時實數a的取值范圍是$\left\{{-\frac{1}{4}}\right\}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的最小值建立條件關系進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區域，
∵目標函數且ax+y=z的最小值為$\frac{1}{2}$，
此時目標函數為ax+y=$\frac{1}{2}$，
即y=-ax+$\frac{1}{2}$，則此時直線過定點D（0，$\frac{1}{2}$），
由ax+y=z得y=-ax+z，
則當直線截距最小時，z最小，
則等價為可行域都在直線y=-ax+$\frac{1}{2}$的上方，
由圖象知當直線y=-ax+$\frac{1}{2}$經過A時，滿足條件，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（2，1），
此時-2a+$\frac{1}{2}$=1，即2a=-$\frac{1}{2}$，
則a=-$\frac{1}{4}$，
故答案為：$\left\{{-\frac{1}{4}}\right\}$

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵．