Question

20．已知正項數列{a_n}中，a₁=2，$a_n^2-{a_n}{a_{n-1}}-2n{a_{n-1}}-4{n^2}=0$，（n≥2，n∈N）
（1）寫出a₂、a₃的值（只須寫結果）；
（2）求出數列{a_n}的通項公式；
（3）設${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+\frac{1}{{{a_{n+3}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}$，若對任意的正整數n，當m∈[-1，1]時，不等式${t^2}-2mt+\frac{1}{6}＞{b_n}$恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據$a_n^2-{a_n}{a_{n-1}}-2n{a_{n-1}}-4{n^2}=0$，（n≥2，n∈N）寫出答案即可；
（2）由已知條件得到（a_n+2n）（a_n-a_n-1-2n）=0，由此求得${a_n}-{a_{n-1}}-2n=0\begin{array}{l}{\;}{（n＞2）}\end{array}$，所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁；
（3）利用裂項法求得b_n=$\frac{1}{（2n+\frac{1}{n}）}+3$，然后利用換元法得到令$f（x）=2x+\frac{1}{x}$（x≥1），則其導函數為$f'（x）=2-\frac{1}{x^2}≥2-1＞0$，結合函數的單調性進行解答．

解答 解：（1）a₂=6，a₃=12；
（2）由已知可得：（a_n-2n）（a_n+2n）-a_n-1（a_n+2n）=0，
∴（a_n+2n）（a_n-a_n-1-2n）=0，
又a_n＞0，
∴${a_n}-{a_{n-1}}-2n=0\begin{array}{l}{\;}{（n＞2）}\end{array}$，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2+4+6+…+2n=n（n+1）；
（3）${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+\frac{1}{{{a_{n+3}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}$
=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}+\frac{1}{（n+2）（n+3）}+…+\frac{1}{2n（2n+1）}$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+1}=\frac{n}{{2{n^2}+3n+1}}=\frac{1}{{（2n+\frac{1}{n}）+3}}$．
令$f（x）=2x+\frac{1}{x}$（x≥1），則$f'（x）=2-\frac{1}{x^2}≥2-1＞0$，
所以f（x）在[1，+∞）上是增函數，
故當x=1時，f（x）取得最小值3，即當n=1時，${（{b_n}）_{max}}=\frac{1}{6}$．
${t^2}-2mt+\frac{1}{6}＞{b_n}$（?n∈N^*，?m∈[-1，1]）$?{t^2}-2mt+\frac{1}{6}＞{（{b_n}）_{max}}=\frac{1}{6}$，
即t²-2mt＞0（?m∈[-1，1]）$?\left\{\begin{array}{l}{t^2}-2t＞0\\{t^2}+2t＞0\end{array}\right.$．
解之得，實數t的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點評 考查數列的通項公式的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．