Question

9．已知M是由滿足下述條件的函數構成的集合：對任意f（x）∈M，①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]⊆D，都存在x₀∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（x₀）成立．試用這一性質證明：方程f（x）-x=0有且只有一個實數根；
（Ⅱ）對任意f（x）∈M，且x∈（a，b），求證：對于f（x）定義域中任意的x₁，x₂，x₃，當|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）假設方程f（x）-x=0存在兩個實數根α，β（α≠β），不妨設α＜β，得到f'（c）=1，與已知0＜f'（x）＜1矛盾，假設不成立；
（Ⅱ）求出函數f（x）-x為減函數，得到|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|，判斷出-1＜x₁-x₂＜1，|x₃-x₁|＜1和-1＜x₃-x₁＜1，相加即可．

解答 （Ⅰ）證明：假設方程f（x）-x=0存在兩個實數根α，β（α≠β），
則f（α）-α=0，f（β）-β=0．…（2分）
不妨設α＜β，根據題意存在c∈（α，β），
滿足f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）．
因為f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，所以f'（c）=1．…（5分）
與已知0＜f'（x）＜1矛盾．又f（x）-x=0有實數根，
所以方程f（x）-x=0有且只有一個實數根．…（6分）
（Ⅱ）解：當x₂=x₃時，結論顯然成立；…（7分）
當x₂≠x₃，不妨設a＜x₂＜x₃＜b．
因為x∈（a，b），且f'（x）＞0，所以f（x）為增函數，那么f（x₂）＜f（x₃）．
又因為f'（x）-1＜0，所以函數f（x）-x為減函數，…（9分）
所以f（x₂）-x₂＞f（x₃）-x₃．
所以0＜f（x₃）-f（x₂）＜x₃-x₂，即|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|．…（10分）
因為|x₂-x₁|＜1，所以-1＜x₁-x₂＜1，（1）
又因為|x₃-x₁|＜1，所以-1＜x₃-x₁＜1，（2）
（1）+（2）得-2＜x₂-x₃＜2即|x₃-x₂|＜2．…（12分）
所以|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|＜2．…（13分）
綜上，對于任意符合條件的x₁，x₂，x₃總有|f（x₃）-f（x₂）|＜2成立．…（14分）

點評 本題考查了新定義問題，考查反證法的應用以及函數的單調性問題，考查絕對值的應用，是一道中檔題．