Question

2．已知函數f（x）=alnx-bx²，a，b∈R．若f（x）在x=1處與直線y=-$\frac{1}{2}$相切．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）對f（x）進行求導，f′（x）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．列出關于a，b的方程求得a，b的值．
（2）研究閉區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值．

解答 解：（1）∵函數f（x）=alnx-bx²（x＞0），∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx，
∵函數f（x）在x=1處與直線y=-$\frac{1}{2}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a-2b=0}\\{f（1）=-b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，f′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$，
當$\frac{1}{e}$≤x≤e時，令f'（x）＞0得：$\frac{1}{e}$≤x＜1，
令f'（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]，上單調遞增，
在[1，e]上單調遞減，
∴f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$．

點評 本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．