Question

20．一個正項等比數列{a_n}的前n項和為2，其后2n項的和為12，則再后面3n項的和為（　　）

• A． -378
• B． 62
• C． 72
• D． 112

Answer 1

分析 設等比數列的公比為q，q＞0，由題意可得S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ）=2，S_3n-S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q³ⁿ）-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ）=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（qⁿ-q³ⁿ）=12，求出$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-2，qⁿ=2，由此能求出再后面3n項的和．

解答 解：∵一個正項等比數列{a_n}的前n項和為2，其后2n項的和為12，
設等比數列的公比為q，q＞0，
∴由題意可得S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ）=2，①
S_3n-S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q³ⁿ）-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ）=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（qⁿ-q³ⁿ）=12，②
由①②解得$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-2，qⁿ=2或$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{1}{2}$，qⁿ=-3，（舍）
∴再后面3n項的和：
S_6n-S_3n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q⁶ⁿ）-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q³ⁿ）=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（q³ⁿ-q⁶ⁿ）
=-2（8-64）=112．
故選：D．

點評 本題考查等比數列的再后面3n項的和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用．