Question

已知向量

a

=（1，cos2x），

b

=（sin2x，-

3

），函數f（x）=

a

•

b

．
（1）若x=

π

3

，求|

a

|；
（2）若f（

a

2

+

2π

3

）=

6

5

，求f（a+

5π

12

）的值；
（3）若x∈[0，

π

2

]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）運用模的公式，即可得到；
（2）運用平面向量的數量積的坐標表示和兩角差的正弦公式及二倍角的余弦公式，即可得到；
（3）由x∈[0，

π

2

]，則2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，運用正弦函數的圖象和性質，即可得到值域．

解答： 解：（1）

a

=（1，cos2x）=（1，-

1

2

），
則|

a

|=

1+ 1 4

=

5

2

；
（2）向量

a

=（1，cos2x），

b

=（sin2x，-

3

），
則函數f（x）=

a

•

b

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
f（

α

2

+

2π

3

）=2sin（α+

4π

3

-

π

3

）=-2sinα=

6

5

，
則sinα=-

3

5

，
f（α+

5π

12

）=2sin（2α+

5π

6

-

π

3

）=2cos2α=2（1-2sin²α）
=2（1-2×

9

25

）=

14

25

；
（3）由x∈[0，

π

2

]，則2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，則f（x）∈[-

3

，2]．
則f（x）的值域為[-

3

，2]．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標公式和性質，考查兩角和差的正弦公式，及二倍角的余弦公式的運用，考查正弦函數的圖象和性質，考查運算能力，屬于中檔題．