Question

3．已知實數1，m，16構成一個等比數列，則圓錐曲線x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由1，m，16構成一個等比數列，得到m=±4．當m=4時，圓錐曲線是橢圓；當m=-4時，圓錐曲線是雙曲線，由此入手能求出離心率．

解答 解：∵1，m，16構成一個等比數列，
∴m=±4．
當m=4時，圓錐曲線x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1是橢圓，它的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
當m=-4時，圓錐曲線x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1是雙曲線，它的離心率是$\sqrt{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\sqrt{5}$．

點評 本題考查圓錐曲線的離心率的求法，解題時要注意等比數列的性質的合理運用，注意分類討論思想的靈活運用．