Question

11．圓x²+y²+4x-2y-1=0上存在兩點關于直線ax-2by+1=0（a＞0，b＞0）對稱，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值為（　　）

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 9
• C． 16
• D． 18

Answer 1

分析 圓x²+y²+4x-2y-1=0上存在兩點關于直線ax-2by+1=0（a＞0，b＞0）對稱，說明直線經過圓心，推出a+b=$\frac{1}{2}$，代入$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$，利用基本不等式，確定最小值，推出選項．

解答 解：由圓的對稱性可得，
直線ax-2by+1=0必過圓心（-2，1），
所以a+b=$\frac{1}{2}$．
所以$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=2（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）（a+b）=2（5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）≥2（5+4）=18，
當且僅當$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$，即2a=b時取等號，
故選D．

點評 本題考查關于點、直線對稱的圓的方程，基本不等式，考查計算能力，是基礎題．