Question

已知函數(shù)f（x）=1g（ax²+4x+4），若f（1）=1，求
（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（1）=1，可得a=2，令t=2x²+4x+4＞0，求得函數(shù)的定義域?yàn)镽，本題即求函數(shù)t的增區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．
（2）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則ax²+4x+4＞0恒成立，故有

a＞0 △=16-16a＜0

，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）由f（1）=lg（a+8）=1，可得a=2，f（x）=1g（2x²+4x+4）．
令t=2x²+4x+4＞0，求得x∈R，故函數(shù)的定義域?yàn)镽，本題即求函數(shù)t的增區(qū)間．
再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得t=2x²+4x+4的增區(qū)間為[-1，+∞）．
（2）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則ax²+4x+4＞0恒成立，
故有

a＞0 △=16-16a＜0

，求得a＞1．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．