Question

已知函數f（x）=

3

sin2x+cos2x，且-

π

6

≤x≤m+

4

m-1

+

π

2

-5（m＞1）恒成立，則f（x）的值域為（　　）

• A、[

  3

  ，2]
• B、[1，

  3

  ]
• C、[1，2]
• D、[-1，2]

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：先求函數解析式，化簡已知可得-

π

6

≤x≤

π

2

，從而可求2x+

π

6

的范圍，即可求出f（x）的值域．

解答： 解：∵f（x）=

3

sin2x+cos2x，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∵-

π

6

≤x≤m+

4

m-1

+

π

2

-5（m＞1）恒成立，
∴-

π

6

≤x≤2

(m-1) 4 m-1

+

π

2

-4=

π

2

≤m+

4

m-1

+

π

2

-5，可解得-

π

6

≤x≤

π

2

．
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，可解得f（x）的值域為[-1，2]．
故選：D．

點評：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數，正弦函數的圖象和性質，屬于基本知識的考查．