Question

設函數g（x）=

1

3

x³+ax²的圖象在x=1處的切線平行于直線2x-y=0．記g（x）的導函數為f（x）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）記正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且?n∈N⁺，S_n=

1

2

f（a_n），求a_n；
（3）對于數列{b_n}滿足：b₁=

1

2

，b_n+1=f（b_n），當n≥2，n∈N⁺時，求證：1＜

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

＜2．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,數列與不等式的綜合

專題：導數的綜合應用,等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）求出原函數的導函數，得到函數在x=1時的導數，由在x=1處的切線平行于直線2x-y=0列式求得a的值，則函數解析式可求；
（2）由S_n=

1

2

f（a_n）得到數列遞推式，求出首項，取n=n-1得另一遞推式，作差后可判斷數列{a_n}是以1為首項，以1為公差的等差數列，則其通項公式可求；
（3）由b_n+1=f（b_n）得b_n+1=b_n（b_n+1），取倒數后變形，然后利用裂項相消法求

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

，放縮證得不等式右邊，直接縮小證明不等式左邊．

解答： （1）解：函數g（x）=

1

3

x³+ax²的導函數為f（x）=x²+2ax，
由于在x=1處的切線平行于2x-y=0，
∴1+2a=2，解得：a=

1

2

，
即f（x）=x²+x；
（2）解：S_n=

1

2

f（a_n）=

1

2

(an2+an)，
當n=1時，a1=S1=

1

2

(a12+a1)，解得：a₁=1或a₁=0（舍去），
當n≥2時，Sn-1=

1

2

(an-12+an-1)，
Sn-Sn-1=

1

2

[(an2-an-12)+(an-an-1)]，
即有（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1．
∴數列{a_n}是以1為首項，以1為公差的等差數列，
則a_n=1+（n-1）=n；
（3）證明：∵b_n+1=b_n（b_n+1），
∴

1

bn+1

=

1

bn(bn+1)

=

1

bn

-

1

bn+1

，
即有

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

．
∴T_n=

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

=

1

b1

-

1

b2

+

1

b2

-

1

b3

+…+

1

bn

-

1

bn+1

=2-

1

bn+1

＜2．
而當n≥2時，T_n=

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

≥

1

1+b1

+

1

1+b2

=

2

3

+

4

7

=

26

21

＞1．
∴1＜

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

＜2．

點評：本題考查了利用導數研究過去線上某點處的切線方程，考查了等差關系的求得，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，訓練了利用放縮法證明數列不等式，屬難題．