Question

等級產品一等二等甲5（萬元）2.5（萬元）乙2.5（萬元）1.5（萬元）利潤項目產品工人（名）資金（萬元）甲88乙210用量工序產品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8概率某工廠生產甲、乙兩種產品，每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序的加工結果均有A、B兩個等級．對每種產品，兩道工序的加工結果都為A級時，產品為一等品，其余均為二等品．
（1）已知甲、乙兩種產品每一道工序的加工結果為A級的概率如表一所示，分別求生產出的甲、乙產品為一等品的概率P_甲、P_乙；
（2）已知一件產品的利潤如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產品的利潤，在（1）的條件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（3）已知生產一件產品需用的工人數和資金額如表三所示．該工廠有工人40名，可用資．金60萬元．設x、y分別表示生產甲、乙產品的數量，在（II）的條件下，x、y為何值時，Z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答時須給出圖示）

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（1）由題意利用相互獨立事件的概率乘法公式能求出甲、乙產品為一等品的概率．
（2）先求出隨機變量ξ和η的分布列，由此能求出ξ、η的分布列及Eξ、Eη．
（3）由題設知

8x+10y≤60 8x+2y≤40 x≥0 y≥0

，目標函數為z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y，作出可行域，由此能求出x=4，y=4時或x=5，y=0時，z取最大值，z的最大值為21．

解答： 解：（1）由題意得：P_甲=0.8×0.85=0.68，
P_乙=0.75×0.8=0.6…（2分）
（2）隨機變量ξ的分布列是：

ξ	5	2.5
P	0.68	0.32

隨機變量η的分布列是：

η	2.5	1.5
P	0.6	0.4

Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，
Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1．
（3）由題設知

8x+10y≤60 8x+2y≤40 x≥0 y≥0

，
目標函數為z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y，
作出可行域（如圖）：
作直線l：4.2x+2.1y=0，
將l向右上方平移至l₁位置時，直線經過可行域上的點M點與原點距離最大，
此時z=4.2x+2.1y取最大值
解方程組

8x+10y=60 8x+2y=40

，
得x=

35

8

，y=

5

2

，
∵x，y為整數，∴x=4，y=2
即x=4，y=2時，z取值為21．
當x=5，y=0時，z=4.2×5+2.1×0=21，
∴x=4，y=2或x=5，y=0時，z取最大值21．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要注意線性規劃知識的合理運用．