Question

已知彈道曲線的參數方程為

x=v0tcosα y=v0tsinα- 1 2 gt2

，g是重力加速度．
（1）求發射角α=

π

3

時，彈道曲線的普通方程和射程；
（2）設v₀是定值，α是變量，求證：α=

π

4

時射程最大．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,函數的最值及其幾何意義

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）發射角α=

π

3

時，可得x=v0tcos

π

3

=

1

2

v0t，y=v0tsin

π

3

-

1

2

gt2=

3

2

v0t-

1

2

gt2，消去t可得y=

3

x-

2gx2

v 2 0

．令y=0，可得x．
（2）由彈道曲線的參數方程

x=v0tcosα y=v0tsinα- 1 2 gt2

，g是重力加速度．消去t可得y=xtanα-

gx2

2 v 2 0 cos2α

，令y=0，可得x=

v 2 0

g

sin2α，即可證明．

解答： （1）解：發射角α=

π

3

時，x=v0tcos

π

3

=

1

2

v0t，y=v0tsin

π

3

-

1

2

gt2=

3

2

v0t-

1

2

gt2，
消去t可得y=

3

x-

2gx2

v 2 0

．
令y=0，可得x=

3 v 2 0

2g

．
（2）證明：由彈道曲線的參數方程

x=v0tcosα y=v0tsinα- 1 2 gt2

，g是重力加速度．消去t可得y=xtanα-

gx2

2 v 2 0 cos2α

，
令y=0，可得x=

v 2 0

g

sin2α≤

v 2 0

g

，當且僅當α=

π

4

時射程最大．

點評：本題考查了彈道曲線的參數方程化為普通方程、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．