Question

8．已知兩個點M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點P，使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“B型直線”．給出下列四條直線：（1）y=x+1；（2）y=2； （3）y=$\frac{4}{3}$x；（4）y=2x+1判斷是“B型直線”的是（　　）

• A． （1）、（2）
• B． （2）、（3）
• C． （1）、（3）
• D． （2）、（4）

Answer 1

分析 根據雙曲線的定義，可得點P的軌跡是以M、N為焦點，2a=6的雙曲線的右支，由此算出雙曲線的方程．再分別判斷雙曲線的右支與四條直線的位置關系，可得只有（1）、（2）的直線上存在點P滿足B型直線的條件，由此可得答案．

解答 解：∵點M（-5，0），N（5，0），點P使|PM|-|PN|=6，
∴點P的軌跡是以M、N為焦點，2a=6的雙曲線的右支．
可得b²=c²-a²=5²-3²=16，雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，（x＞0），
∵雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x，
∴直線y=$\frac{4}{3}$x與雙曲線沒有公共點；
直線y=2x+1經過點（0，1）斜率k＞$\frac{4}{3}$，與雙曲線也沒有公共點；
而直線y=x+1、與直線y=2都與雙曲線有交點．
因此，在y=x+1與y=2上存在點P使|PM|-|PN|=6，滿足B型直線的條件．
只有（1），（2）正確．
故選：A．

點評 本題給出“B型直線”的定義，判斷幾條直線是否為B型直線，著重考查了雙曲線的定義、標準方程、直線與雙曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．