Question

20．已知函數$f（x）=\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx$（其中ω∈（0，1）），若f（x）的圖象經過點$（\frac{π}{6}，0）$，則f（x）在區間[0，π]上的單調遞增區間為$[{0，\frac{2π}{3}}]$．

Answer 1

分析 推導出f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$），從而求出f（x）的增區間為[-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ]，k∈Z，由此能示出f（x）在區間[0，π]上的單調遞增區間．

解答 解：函數$f（x）=\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx$
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∵f（x）的圖象經過點$（\frac{π}{6}，0）$，
∴2sin（$\frac{π}{3}$ω-$\frac{π}{6}$）=0，∴$\frac{π}{3}$ω-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
解得ω=3k$+\frac{1}{2}$，
∵ω∈（0，1），∴ω=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的增區間為：-$\frac{π}{2}$+2kπ$≤x-\frac{π}{6}≤$$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈z，
整理，得-$\frac{π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴f（x）在區間[0，π]上的單調遞增區間為$[{0，\frac{2π}{3}}]$．
故答案為：$[{0，\frac{2π}{3}}]$．

點評 本題考查三角函數的增區間的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數圖象及性質的合理運用．